СЗМ Раман Нано ИК системы
Модульные СЗМ
Автоматизированные СЗМ
Специализированные СЗМ
 
 

2.1 АСМ кантилеверы

2.1.6 Эффективная масса и собственная частота кантилевера

В АСМ помимо методик, основанных на измерении статического изгиба балки, существуют колебательные методики. Для их использования необходимо знать резонансную частоту кантилевера.

Вычислим резонансную частоту изотропного кантилевера массы  в виде балки в форме параллелепипеда длиной , толщиной ()и шириной () на свободный конец которого действует сосредоточенная вертикальная сила (рис. 1).

Рис. 1.  Прямоугольный кантилевер с зондом.

Найдём кинетическую    и потенциальную энергию кантилевера. Рассмотрим элемент балки длиной  находящийся на расстоянии  от закреплённого конца. Кинетическая энергия такого элемента есть

(1)
где  – отклонение точек осевой линии балки на расстоянии от закреплённого конца в момент времени.  В соответствии с формулами (8), (9) раздела 2.1.2 выражается через отклонение свободного конца балки следующим образом:
(2)
Тогда подставляя значение в (1) и производя интегрирование по всей длине балки, получим, что
(3)

Потенциальная энергия вычисляется проще. Так как по условию только на свободный конец действует сосредоточенная сила  F , то очевидно, что  Enom равна работе, затраченной на перемещение конца балки на расстояние :

(4)
где  – коэффициент нормальной жесткости, определяемый формулой (12) раздела 2.1.2.

Если считать, что колебания в системе происходят без диссипации полной энергии то есть ,  , тогда дифференцируя полную энергию по времени, получим уравнение движения свободного конца кантилевера

(5)
Следовательно, эффективная масса кантилевера равна
(6)

Таким образом, вычислив   и зная коэффициент жёсткости  и зная коэффициент жёсткости , определяемый формулой (12) раздела 2.1.2, получаем, что собственная частота колебаний кантилевера выражается через его параметры следующим образом

(7)
где – плотность кантилевера, – модуль Юнга. Как видно из (6), обратно пропорциональна квадрату длины балки. Данный факт необходимо учитывать при выборе кантилевера. Резонансная частота собственных колебаний кантилевера должна быть максимально высокой, иначе в нём легко будут возбуждаться собственные колебания за счёт возвратно-поступательных перемещений зонда относительно образца при построчном сканировании поверхности или под действием внешних вибраций.

Выводы.

  • Для использования колебательных методик АСМ необходимо знать частоту собственных колебаний и эффективную массу кантилевера.
  • Эффективная масса  .
  • Собственная частота .

 

 
 
Copyright © 2015 - 2017, NT-MDT SI