1.1.2 Туннельный эффект в квазиклассическом приближении

Качественное условие квазиклассики подразумевает, что дейбролевская длина волны частиц мала по сравнению с характеристическими размерами определяющими условия данной конкретной задачи. Это условие сводится к тому, что длина волны частиц должна мало меняться на протяжении расстояний порядка её самой.

(1)

где , – дейбролевская длина волны частицы, выраженная через классический импульс p(z) частицы [1].

Условие (1) можно написать и в ином виде, заметив, что

(2)

где есть классическая сила, действующая на частицу во внешнем поле.

(3)

Отсюда видно, что квазиклассическое приближение становится неприменимым при слишком малом импульсе частицы. В частности, оно заведомо неприменимо вблизи тех точек, в которых частица, согласно классической механике, остановилась бы, после чего начала бы двигаться в обратном направлении. Эти точки принято называть "точками поворота". Их координаты и определяются из равенства .

Подчеркнём, однако, что условие (3) само по себе может оказаться недостаточным для допустимости квазиклассического приближения. Необходимо так же потребовать, чтобы изменение потенциального барьера на длине было мало.

Рассмотрим движение частиц в поле типа, изображённого на рис. 1, характеризующегося наличием потенциального барьера, в котором потенциальная энергия превышает полную энергию частицы и выполняются все условия квазиклассики. В данном случае, точки и являются точками поворота.

Рис. 1. Потенциальный барьер произвольной формы.

Метод нахождения приближённых решений уравнения Шредингера при выполнении условий квазиклассичности впервые был применён Венцельем, Крамерсом и Бриллюэном. Он и известен под названием ВКБ, или метода квазиклассического квантования. В данном пункте вывода решений уравнения Шредингера для этого случая не будет. Однако эти выводы всегда можно найти в [1,2], согласно которым, прозрачность барьера пропорциональна

(4)

Таким образом, сравнивая формулы (3) пункта 1.1.1 для прозрачности прямоугольного барьера (точное решение уравнения Шредингера) и (4) для квазиклассического приближения, замечаем, что качественного отличия между ними нет. В обоих случаях прозрачность экспоненциально убывает с увеличением ширины барьера.

Выводы.

Если параметры задачи удовлетворяют условиям квазиклассичности (1,3), то коэффициент прохождения через барьер может быть вычислен в общем виде по формуле (4).
Качественного отличия между коэффициентами прозрачности в квантово-механическом случае и квазиклассическом приближении нет. В обоих случаях прозрачность экспоненциально убывает с увеличением ширины барьера.

Литература.

Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика // М.: Наука, 1989.
Н. Мотт, И. Снеддон. Волновая механика и её примене-ние // М.: Наука, 1966