1.2.1 Формула John G. Simmons
Пользуясь моделью Зоммерфельда (см. пункт 1.1.3) выведем, формулу туннельного тока, протекающего в системе металл-диэлектрик-металл (М-Д-М), в приближении ВКБ теории (см. пункт 1.1.2) при T = 0, в случае потенциального барьера произвольной формы, считая, что масса электронов изотропна во всём пространстве.
Рис. 1. Модель потенциального барьера М-Д-М для случая, когда система находится в термодинамическом равновесии;
j1 и j2 – работы выхода левого и правого металла соответственно.
Рис. 2. Модель потенциального барьера произвольной формы в системе М-Д-М. Положительный потенциал приложен к правому металлу.
Рассмотрим два металлических электрода, между которыми находится диэлектрическая плёнка толщиной L. Если электроды находятся под одним потенциалом, то система пребывает в термодинамическом равновесии (см. пункт 1.1.3) и уровни Ферми электродов совпадают (рис. 1). Однако, если электроды находятся под разными потенциалами, то между ними возможно протекание электрического тока. На рис. 2 показана энергетическая диаграмма электродов, между которыми приложена разность потенциалов eV. Ширина потенциального барьера, для электронов находящихся на уровне Ферми обозначена как dz = z2 – z1. Будем считать, что весь протекающий ток обусловлен туннельным эффектом.
Вероятность D(Ez) того, что электрон может проникнуть через потенциальный барьер высотой U(z) определяется выражением (4) пункта 1.1.2. Количество электронов N1 туннелирующих через барьер из электрода 1 в электрод 2 можно записать как [1, 2]
(1)
где
(2)
и Em – максимальная энергия туннелирующих электронов.
Интегрирование выражения (2) можно выполнить в полярных координатах. Так как в рассматриваемой модели
,
и полная энергия
, то, сделав замену переменных
,
, получим, что
(3)
Подставляя (3) в (1) имеем
(4)
Количество электронов N2 туннелирующих из электрода 2 в электрод 1, вычисляется аналогичным образом. В соответствии с выражением (4) пункта 1.1.2, прозрачность потенциального барьера в данном случае будет такая же, как если бы к электроду 1 был подан положительный потенциал V, относительно электрода 2. В этом случае
(5)
Очевидно, что общий поток электронов N через потенциальный барьер есть N = N1 – N2. Обозначим
(6)
Тогда плотность туннельного тока J запишется как
(7)
Запишем U(z) в виде
(см. рис. 2). Тогда производя интегрирование (4) пункта 1.1.2 и используя выражение (П5) из приложения, получим
(8)
где
– среднее значение потенциального барьера, отсчитанное от уровня Ферми отрицательно заряженного электрода;
;
, b – безразмерный коэффициент, определенный в приложении (П6).
При T = 0 K
(9)
Подставляя (8) и (9) в (7) находим, что
(10)
Выполняя интегрирование (10), получим
(11)
где
.
Таким образом, выражение (11) является приближённым выражением для туннельного тока в системе М-Д-М в случае потенциального барьера произвольной формы.
Выводы.
- Получено общее выражение, для вычисления туннельного тока, протекающего в системе М-Д-М (7).
- Аналитически вычислено приближённое решение туннельного тока в системе М-Д-М (11).
Литература.
- Э. Бурштейн, С. Лундквист. Туннельные явления в твёрдых телах // М.: Мир, 1973.
- John G. Simmons. J. Appl. Phys. - 1963. - V. 34 1793.
- John G. Simmons. J. Appl. Phys. - 1963. - V. 34 238.