1.2.2 Формула John G. Simmons в случае малого, промежуточного и высокого напряжения
В пункте 1.2.1 показано, что туннельный ток, протекающий в системе металл-диэлектрик-металл (М-Д-М), выражается общей формулой [1]:

(1)
где
,
,
– среднее значение потенциального барьера,
– ширина потенциального барьера,
– напряжение между металлами.
При низких напряжениях
, выражение (1) можно привести к более простому виду [1]

(2)
где
. Так как
, то можно считать, что
не зависит от
. Таким образом, в случае малого значения прикладываемого напряжения, туннельный ток линейно зависит от
. Энергетическая диаграмма системы М-Д-М когда
представлена на рис. 1.

Рис. 1. Потенциальный барьер в системе М-Д-М в случае
~ 0.
и
– работы выхода металлов соответственно.
Если
, тогда
и
(рис. 2).

Рис. 2. Потенциальный барьер в системе М-Д-М в случае
.
и
– работы выхода металлов соответственно.
В [2] показано, что в этом случае зависимость туннельного тока от напряжения

(3)
где
.
Высокое напряжение – Автоэмиссионный режим.
Случаю, когда
соответствует энергетическая диаграмма, изображённая на рис. 3 и
,
.

Рис. 3. Потенциальный барьер в системе М-Д-М в случае
.
и
– работы выхода металлов соответственно.
Подставляя эти значения
и
в уравнение (1), имеем

(4)
где
– напряжённость электрического поля.
При очень высоких напряжениях (
) уровень Ферми 2-ого электрода лежит ниже дна зоны проводимости 1-ого электрода. Поэтому при таких условиях, электроны не могут туннелировать из 2-ого в 1-ый электрод, так как нет свободных уровней. Совершенно обратная ситуация наблюдается для противоположного направления туннелирования, так как для электронов 1-ого электрода становятся доступны все свободные уровни 2-ого электрода. Такая ситуация аналогична явлению холодной эмиссии электронов из металла в вакуум. Таким образом, так как
, то вторым слагаемым в (4) можно пренебречь и соответственно

(5)
где b = 23/24. Полученный результат качественно совпадает с аналитическим выражением для плотности токa автоэлектронной эмиссии [3].
Таким образом, с помощью формул (1)–(5) можно теоретически рассчитать величину туннельного тока при заданных параметрах системы и соответственно построить вольтамперные характеристики. На рис. 4 представлена теоретическая зависимость туннельного тока от прикладываемого напряжения в случае углеродного электрода 1
(
= 4,7 эВ) и платинового электрода 2
(
= 5,3 эВ) при
= 5 Å и контактной площади S = 10-17 m2.

Рис. 4. Вольтамперная характеристика в случае углеродного электрода 1 и платинового электрода 2 при
= 5 Å и контактной площади 10-17 m2. Обозначенные участки кривой J(V) зависят от V по соответствующим формулам: AB – (22), BC – (23), CD – (24), DE – (25).
Выводы.
- В зависимости от величины напряжения, прикладываемого к системе М-Д-М, формулу John G. Simmons можно преобразовать к более упрощённым вариантам (2)–(5).
- Экспериментальные зависимости туннельного тока от параметров задачи, можно описывать приближёнными зависимостями (2)–(5) в соответствии с величиной прикладываемого напряжения.
Литература.
- John G. Simmons. J. Appl. Phys. - 1963. - V. 34 1793.
- John G. Simmons. J. Appl. Phys. - 1963. - V. 34 238.
- Л.Н. Добрецов, М.В. Гомоюнова. Эмиссионная электрони-ка // М.: Наука, 1966.