2.1.3 Отклонение под действием продольной силы

Определим величину и направление деформации под действием продольной силы . Решение этой задачи позволит найти средний столбец тензора (см. формулу (2) пункта 2.1.1).

(1)

(2)

(3)

Сила , действующая в направлении оси кантилевера, создает момент , вызывающий деформацию, которую назовем вертикальным изгибом y-типа (рис. 1).

Рис. 1. Вертикальный изгиб y-типа.

Несмотря на внешнее сходство с вертикальным изгибом z-типа (см. пункт 2.1.2), в этом случае профиль деформации будем другим. Уравнение, описывающее изгиб y-типа, имеет следующий вид (срав. с (7) пункта пункт 2.1.2):

(4)

Граничные же условия останутся прежними: и . Найти решение просто:

(5)

Таким образом, отклонение острия по вертикали при данном типе деформации составит:

(6)

Сравнивая (6) и (3) и вынося в полученном выражении общий множитель (см. (10) пункта 2.1.2), получим:

(7)

Угол отклонения конца балки будет равен:

(8)

Из формулы (8) и геометрии вертикального изгиба y-типа (рис. 1) несложно найти отклонение острия зонда возникающее под действием силы :

(9)

Из (2), (7) и (9) легко получить:

(10)

Учитывая, что , заметим:

(11)

Наконец, запишем компоненты средней колонки матрицы (3) пункта 2.1.1. Из формул (6–8) можно получить

(12)

Так как под действием силы не происходит наклона верхней плоскости кантилевера в направлении то

(13)


Выводы.

  • Под действием продольной отклоняющей силы возникает изгиб y-типа.
  • Для нахождения компонентов тензора обратной жесткости, соответствующих изгибу y-типа необходимо решить задачу статического изгиба балки, которая сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка.
  • Продольная сила приводит к отклонению острия не только в продольном, но и в вертикальном направлении , а также к появлению угла отклонения .