2.7.10 Магнитное поле кольца с током
Вычислим магнитное поле, создаваемое кольцом радиуса
по которому протекает постоянный ток
(рис. 1). Считаем, что ширина и толщина проводника кольца намного меньше чем
.
Рис. 1. Схематическое изображение кольца с током.
Рис. 2. Поперечное сечение кольца.
Согласно закону Био-Савара-Лапласа [1, 2], магнитное поле, создаваемое элементом провода длины
на расстояние
от него в гауссовой системе координат определяется по формуле
(1)
где
,
– скорость света.
Поместим правовинтовую координатную систему XYZ в центр кольца, так чтобы плоскость XY лежала в плоскости кольца (рис. 1, 2). Так как задача симметрична относительно центра кольца, тогда достаточно найти распределение магнитного поля в плоскости, содержащей вектор сонаправленный с радиусом кольца и осью Z. Для простоты решения, выберем такую плоскость XZ и вычислим величину магнитного поля в точке
(рис. 2). Величина
(радиус вектор от точки
до элементарного элемента
кольца) в зависимости от угла
определяется выражением
(2)
Элементарный вектор
запишется через
и угол
следующим образом
(3)
Подставляя выражения (2) и (3) в формулу (1), получим, что
(4)
Для того чтобы получить суммарное магнитное поле, создаваемое всем кольцом в точке
, необходимо проинтегрировать каждую компоненту вектора
по
от 0 до 2p. Соответственно, значение X, Y и Z компонент вектора
, согласно (4) задаются следующим образом:
(5)
где
.
Формулы (5) выражают распределения магнитного поля в плоскости XZ. Очевидно, что в силу симметрии задачи магнитное поле вдоль оси Y равно нулю и в произвольной точке
магнитное поле будет равняться значению поля в точке
лежащей в плоскости XZ. Соответственно формулы (5) перепишутся в виде
(6)
где
.
Так как величина
входит в подынтегральное выражение функций
и
как параметр, то первую и вторую производную компонент магнитного поля вдоль оси Z можно вычислить путём прямого дифференцирования функций
,
по
и затем дальнейшего численного интегрирования. К примеру, первая производная
по
в соответствии с (7) вычисляется следующим образом
(7)
По аналогии вычисляются остальные производные компонент вектора
. В случае если
,
(точка
находится на оси кольца), тогда формулы (6,7) преобразуются к виду
(8)
Зная выражения для первой и второй производных магнитного поля, можно рассчитать силу взаимодействия магнитного зонда (и ее производную) и проводника с током. Данные вычисления для случаев различной геометрии зонда приведены в приложении.
Выводы.
- Получены зависимости пространственного распределения магнитного поля и его производных вдоль оси Z над поверхностью кольца с током, см. формулы (6-8).
Литература.
- Д.В. Сивухин. Электричество (Общий курс физики). М.: Наука 1983. - 688 c.
- Р. Фейнман., Р. Лейтос., М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Электричество и магнетизм. М.: МИР 1977. - 299.