2.7.9 Магнитное поле прямоугольного провода с током
Вычислим распределение магнитного поля в пространстве, создаваемое прямоугольным проводником с плотностью тока
, длиной
, шириной
и толщиной
,
и
(рис. 1).
Рис. 1. Поперечное сечение прямоугольного проводника.
Рис. 2. Схематическое изображение бесконечно тонкой нити, по которой течёт постоянный ток
.
Согласно закону Био-Савара-Лапласа [1,2], магнитное поле
, создаваемое бесконечно тонкой и длиной ниткой, на расстояние
от неё (рис. 2) в гауссовой системе определяется выражением
(1)
где
,
– скорость света,
– ток, протекающий по нити, и магнитное поле сонаправлено с векторным произведением
.
Разобьём поперечное сечение проводника на бесконечное число нитей сечением
(рис. 1). Тогда, магнитное поле, создаваемое каждой элементарной ниткой в точке
в соответствии с формулой (1) определяется выражением
(2)
где
,
– плотность тока,
– наикратчайшее расстояние от элементарной нити до точки A,
– угол между вектором
и осью,
, причём
. В дальнейшем, магнитное поле вдоль оси Y не будет вычисляться, так как очевидно, что в произвольной точке
оно равно нулю.
Суммарное магнитное поле, в точке
, можно вычислить, проинтегрировав выражение (2) по всему поперечному сечению проводника
(3)
где была выполнена замена переменных
. Интегралы вида
(4)
выражаются через аналитические функции следующим образом:
(5)
Производные функций
и
вдоль оси Z, в соответствии с (5), определяются формулами
(6)
Аналогично, вторые производные функций
и
, вдоль оси Z, в соответствии с (5) определяются выражениями
(7)
Таким образом, магнитное поле
, заданное выражениями (3) выражается через формулы (5) следующим образом
(8)
Производные компонент магнитного поля
вдоль оси Z, по аналогии с (8), в соответствии с (6) определяются выражениями
(9)
Вторые производные компонент магнитного поля
вдоль оси Z, по аналогии с (8), в соответствии с (7) определяются выражениями
(10)
Зная выражения для первой и второй производных магнитного поля, можно рассчитать силу взаимодействия магнитного зонда (и ее производную) и проводника с током. Данные вычисления для случаев различной геометрии зонда приведены в приложении.
На основе теории малых колебаний зонда (см. пункт 2.3.4) также разработана специальная Flash модель, которая теоретически вычисляет изменение амплитуды, фазы, частоты колебаний зонда в процессе второго прохода стандартного динамического МСМ режима над поверхностью образца.
Выводы.
- Получены аналитические зависимости пространственного распределения магнитного поля, его первой и второй производной над поверхностью прямоугольного проводника с током, см. формулы (8-10).
- Теоретические зависимости пространственного распределения магнитного поля, его первой и второй производной в зависимости от параметров проводника можно проанализировать в специально разработанном Flash приложении.
Литература.
- Д.В. Сивухин. Электричество (Общий курс физики). М.: Наука 1983. - 688 c.
- Р. Фейнман., Р. Лейтос., М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Электричество и магнетизм. М.: МИР 1977. - 299.