2.2.2.3 Точная постановка задачи Герца и ее решение в общем виде

Пусть два твердых тела соприкасаются друг с другом в точке (рис. 1). Необходимо принять следующие упрощающие предположения [1]:

1. Тела заполнены однородными изотропными линейно упругими средами, характеризующимися модулями Юнга , и коэффициентами Пуассона , .
2. Кривизна поверхностей мало влияет на напряженно-деформированное состояние.
3. Граничные поверхности заменяются эллиптическими параболоидами.
4. Точка контакта – не особая, область контакта односвязная и ее граница – эллипс.

Уравнение поверхности вблизи точки касания:

где по дважды повторяющимся индексам , – суммирование. Тензор характеризует кривизну поверхности, его главные значения – и (здесь , – главные радиусы кривизны контактирующих поверхностей в точке O).

Аналогично для второго тела:

Предположим, что тела сдавливаются некоторой силой , в результате чего они деформируются и сближаются на некоторое малое расстояние (рис. 2). Теперь областью соприкосновения будет не точка, а участок поверхности площадью ( для эллипса). Пусть и компоненты (соответственно по осям и векторов смещения точек поверхностей обоих тел при сдавливании (рис. 2).

Из рисунка видно, что в точках области соприкосновения имеет место равенство:

или

В точках, где поверхности не соприкасаются, выполняется

Выберем направления осей и таким образом, чтобы тензор был приведен к главным осям. Обозначая через и главные значения этого тензора, перепишем (4):

Величины и связаны с радиусами кривизны , и , обеих поверхностей следующими формулами, которые приведем без вывода:

где – угол между теми нормальными сечениями поверхностей, в которых радиусы кривизны – и . Знаки радиусов кривизны положительны, если соответствующие центры кривизны расположены внутри соответствующего тела, и отрицательны – в обратном случае.

Обозначим через давление между сдавленными телами в точках их соприкосновения. Вне области соприкосновения, очевидно, . Смещение под влиянием нормальных сил определяется выражением (поверхности считаем плоскими):

Заметим, что из (8) следует, что отношение постоянно и равно:

Соотношения (7) и (9) непосредственно определяют распределение деформации и по области соприкосновения. Подставим выражения (8) в (7):

Это интегральное уравнение определяет распределение давления по области соприкосновения. Решение его находится по аналогии с теорией потенциала.

Поэтому придется рассмотреть задачу из теории потенциала..

---

Пусть по объему трехосного эллипсоида

равномерно распределен заряд (с объёмной плотностью ). Тогда потенциал поля внутри эллипсоида определяется выражением:

В предельном случае предельно уплощенного эллипсоида (в направлении оси ), когда :

(координаты внутри эллипсоида полагаются равными нулю).

Потенциал можно записать и по-другому:

где интегрирование производится по объёму эллипса. Теперь перейдем к пределу , при этом положим под корнем ; производя интегрирование по в пределах между , получим:

где интегрирование производится по площади внутри эллипса Приравнивая оба выражения для , получим:

---

Сравним интегральное уравнение (16) с уравнением (10). Видим, что в их правых частях стоят квадратичные функции от и одинакового вида, а в левых – интегралы одинакового типа. Поэтому можно сразу сказать, что область соприкосновения тел (она же – область интегрирования в интеграле (10)) ограничена эллипсом вида:

и что функция должна быть вида:

Выберем const таким образом, чтобы интеграл по области соприкосновения был равен силе с которой сдавливаются тела. Получим:

Эта формула определяет закон распределения давления по площади области соприкосновения. Заметим, что давление в центре в полтора раза превышает среднее давление .

Подставим (19) в (10) и заменим получающийся интеграл его выражением согласно (16):

где – эффективный модуль Юнга:

Приравняем коэффициенты при и и свободные члены с обеих сторон:

Уравнения (22), (23) определяют полуоси и области соприкосновения при заданной силе ( и известные для данных тел величины). После этого с помощью соотношения (22) можно определить зависимость между силой и вызываемым ею сближением тел . Интегралы в правых частях уравнений эллиптические.

Применим полученные формулы к соприкосновению двух шаров с радиусами и . В этом случае:

Из соображений симметрии ясно, что , т.е. областью соприкосновения является круг. Из (23), (24) получим для радиуса области соприкосновения:

В данном случае – это разность между суммой и расстоянием между центрами шаров. Из (18) получим соотношение между и :

Итак, , соответственно, .

Зависимость вида , имеет место не только для шаров, но и для других тел конечных размеров. В этом легко убедиться из соображений подобия. Если провести замену , , , где – произвольная постоянная, то уравнения (23), (24) останутся неизменными. В уравнении же (22) правая часть умножится на , и для того, чтобы оно оставалось неизменным, надо изменить на . Отсюда следует, что должно быть пропорционально .

---

Выводы.

• Задача Герца позволяет определить параметры деформации в "точке" соприкосновения двух тел.
• При постановке задачи Герца используется модель сплошной упругой однородной среды и предположение малости деформаций.
• В месте "точечного" соприкосновения зонда с поверхностью образца образуется контактная площадка.
• Решение задачи Герца позволяет определить величину прогиба в зависимости от приложенной нагрузки. Величина прогиба пропорциональна степени сдавливающей силы.

Литература.

1. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. – М.: Наука, 1987. – 246 с.