2.4.3 Методика расчета резонансных характеристик. Кривые подвода-отвода

В пункте 2.4.2 был приведен приближенный метод решения уравнения движения зонда в произвольном потенциале. Как было показано резонансные характеристики системы зонд-образец имеет следующий вид:

(1)

(2)

Однако уравнения (1,2) связывают амплитуду, фазу и частоту вынуждающей силы в неявной форме. Для того, чтобы облегчить расчет резонансных характеристик рассмотрим следующую методику. Выразим в (1) обратную зависимость частоты вынуждающей силы от амплитуды колебаний. Проделывая не сложные выкладки, получим:

(3)

Выражение (3) описывает две ветви АЧХ системы, при этом знак "+" соответствует ветви , а знак "-" – ветви . Здесь введено новое обозначение . Но теперь, несмотря на наличие двух ветвей вместо одной, зависимость частоты от амплитуды колебаний имеет явную форму. Далее, используя выражение (2), получим полные резонансные характеристики системы:

      

(4)

      

(5)

где амплитуда колебаний выступает как параметр, который пробегает значения в интервале .

Обе ветви сшиваются в точке с максимальной амплитудой колебаний (резонанс) . Данному значению амплитуды колебаний соответствует частота вынуждающей силы . Таким образом, резонансная частота системы при расстоянии зонд-образец равном .

Теперь можно записать, как изменяется резонансная частота системы при изменении расстояния зонд образец. Вспоминая значение вспомогательной функции (см. (9) пункта 2.4.2), получим для относительного сдвига резонансной частоты:

(6)

Таким образом, зависимость изменения резонансной частоты колебаний кантилевера при отводе его от образца содержит информацию о виде потенциала взаимодействия.

Если же амплитуда колебаний мала, т.е. , то выражение (6) можно переписать в виде:

(7)

где введено обозначение сила взаимодействия между зондом и образцом. Вспоминая теорию малых колебаний кантилевера в поле силы , сдвиг резонансной частоты в том случае в точности совпадает с выражением (7).

Для нахождения зависимости изменения амплитуды колебаний при отводе зонда от образца будем считать, что кантилевер возбуждается на частоте равной его собственной резонансной частоте при отсутствии взаимодействия зонд-образец, т.е. и, соответственно, . Исходя из вида АЧХ системы, легко получить, что в этом случае для амплитуды колебаний должно выполняться:

(8)

Выражение (8) можно записать в виде , которое задает вид зависимости амплитуды колебаний от расстояния зонд-образец. При этом в некоторых случаях (в зависимости от вида потенциала взаимодействия и расстояния зонд-образец) решение (8) неоднозначно, что соответствует случаю одновременного существования нескольких режимов колебаний с различной амплитудой и, соответственно, фазой, т.к. из (2) фаза колебаний является однозначной функцией от амплитуды.

Рассмотрим, что произойдет в случае малости колебаний. Как уже было показано в случае со сдвигом резонансной частоты колебаний, в этом случае выполняется:

(9)

Подставляя (9) в выражение (8), получим

(10)

Если вертикальный градиент силы взаимодействия зонд-образец мал (сила слабо меняется на амплитуде колебаний), то относительное изменение амплитуды можно выразить в виде:

(11)

Сравнив полученное выражение с изменением амплитуды, вычисленным в теории малых колебаний, легко убедиться, что обе теории дают полностью идентичные ответы.

Теперь рассмотрим сдвиг фазы колебаний, которые происходит при отводе зонда от поверхности образца. Как и в случае с амплитудой будет считать, что . С учетом (2) получим

(12)

Используя условие малости колебаний (9) выражение (12) преобразуется к виду:

(13)

который опять в точности соответствует выведенному в теории малых колебаний.


Выводы.

  • Предложен метод расчета резонасных характеристик системы зонд-образец при произвольной амплитуде вынуждающей силы. Он позволяет в явной форме вычислить частоту и фазу колебаний, соответствующие определенной амплитуде колебаний. При этом отпадает необходимость решать неявную нелинейную систему уравнений (1, 2).
  • Из вида резонансных характеристик системы выведены зависимости амплитуды, резонасной частоты и фазы колебаний при подводе-отводе зонда от образца.
  • Показано, что в пределе малых амплитуд , теория возмущений дает результаты полностью идентичные полученным в теории малых колебаний кантилевера.