Приложения
Приложение 1. Вычисление силы и градиента силы действующей на цилиндрический
ферромагнитный зонд в магнитном поле проводника.
Найдём силу и производную силы, действующую на цилиндрический ферромагнитный зонд радиуса
, длиной
и намагниченностью
находящегося в магнитном поле проводника. Причём, вектор намагниченности
направлен под углом
к нормали основания цилиндра по всему объёму (рис. 1).

Рис. 1. Схематическое изображение цилиндрического зонда.
Вектор
имеет координаты
.
Согласно пункту 2.7.3 силу
, действующую на магнитный кантилевер, и её производную
, можно вычислить, проинтегрировав по всему объёму ферромагнитного материала силу, действующую на элементарный объём. Для данной геометрии магнитного зонда и при условии, что магнитное поле вдоль оси Y равно нулю, сила и производная вдоль оси Z, в соответствии с формулами (1, 2) пункта 2.7.3 определяются через функцию
следующим образом



(1)
где аналитические зависимости производных магнитного поля
определяются формулами (9,10) пункта 2.7.9.
Приложение 2. Вычисление силы и градиента силы действующей на сферический
ферромагнитный зонд в магнитном поле проводника.
Найдём силу и производную силы, действующую на сферический ферромагнитный зонд радиуса
, и намагниченностью
находящегося в магнитном поле проводника. Причём, вектор намагниченности
направлен под углом
к оси Z по всему объёму (рис. 2).

Рис. 2. Схематическое изображение сферического зонда.
Вектор
имеет координаты
.
Согласно пункту 2.7.3 силу
, действующую на магнитный кантилевер, и её производную
, можно вычислить, проинтегрировав по всему объёму ферромагнитного материала силу, действующую на элементарный объём. Для данной геометрии магнитного зонда и при условии, что магнитное поле вдоль оси Y равно нулю, сила и производная вдоль оси Z, в соответствии с формулами (1, 2) пункта 2.7.3 определяются выражениями

(2)
где
и аналитические зависимости производных магнитного поля
определяются формулами (9,10) пункта 2.7.9.
Приложение 3. Вычисление силы и градиента силы действующей на конический зонд,
покрытый ферромагнитной плёнкой в магнитном поле проводника.
Найдём силу и производную силы, действующую на конический зонд покрытый ферромагнитной плёнкой в магнитном поле проводника. Зонд имеет радиус
, длину
, углол раствора
, покрыт ферромагнитной плёнкой толщиной
и намагниченностью
, направленной вдоль оси Z (рис. 3).

Рис. 3. Сечение конического зонда покрытого ферромагнитной плёнкой.
Вектор
имеет координаты
.
Согласно пункту 2.7.3 силу
, действующую на магнитный кантилевер, и её производную
, можно вычислить, проинтегрировав по всему объёму ферромагнитного материала силу, действующую на элементарный объём. Для простоты выполнения поставленной задачи, разобьём интегрирование по объёму ферромагнитного материала на три этапа.
Первый этап – вычисляется сила и её производная, действующая на сферическую часть зонда. Для сферической части магнитного зонда при условии, что магнитное поле вдоль оси Y равно нулю, сила и производная вдоль оси Z, в соответствии с формулами (1, 2) пункта 2.7.3 определяются выражениями


(3)
где
и аналитические зависимости производных магнитного поля
определяются формулами (9,10) пункта 2.7.9.
Второй этап – вычисление силы и её производной, действующей на немагнитный внутренний конус, предполагая, что вектор намагниченности по всему объёму конуса не равен нулю, а совпадает с
. Вычисление силы и её производной также выполняется в соответствии с формулами (1, 2) пункта 2.7.3, которые дают результат


(4)
где
и
.
Третий этап – вычисление силы и её производной по всему объёму внешнего конуса, за исключением сферической части зонда и предполагая, что вектор намагниченности во всем объёме конуса совпадает с
. В этом случае


(5)
Соответственно, общая сила и её производная, действующая на зонд данного типа, определяются выражениями


(6)
Приложение 4. Вычисление силы и градиента силы действующей на конический
ферромагнитный зонд в магнитном поле проводника.
Найдём силу и производную силы, действующую на конический ферромагнитный зонд в магнитном поле проводника. Зонд имеет радиус
, длину
, углол раствора
и намагниченность
, направленную под углом
к оси Z (рис. 4).

Рис. 4. Сечение конического ферромагнитного зонда.
Вектор
имеет координаты
.
Согласно пункту 2.7.3 силу
, действующую на магнитный кантилевер, и её производную
, можно вычислить, проинтегрировав по всему объёму ферромагнитного материала силу, действующую на элементарный объём. Для простоты выполнения поставленной задачи, разобьём интегрирование по объёму ферромагнитного материала на два этапа.
Первый этап – вычисляется сила и её производная, действующая на сферическую часть зонда. Для сферической части магнитного зонда при условии, что магнитное поле вдоль оси Y равно нулю, сила и производная вдоль оси Z, в соответствии с формулами (1, 2) пункта 2.7.3 определяются выражениями

(7)
где
,
и аналитические зависимости производных магнитного поля определяются формулами (9,10) пункта 2.7.9.
Второй этап – вычисление силы и её производной по всему объёму конуса, за исключением сферической части. Вычисление силы и её производной также выполняется в соответствии с формулами (1, 2) пункта 2.7.3, которые дают результат

(8)
где
.
Соответственно, общая сила и её производная, действующая на зонд данного типа, определяются выражениями


(9)