2.1.2 Отклонения под действием вертикальной (нормальной) силы

Определим величину и направление деформации под действием вертикальной силы . Решение этой задачи позволит найти последний столбец тензора (см. формулу (2) пункта 2.1.1).

(1)

(2)

(3)

Под действием вертикальной отклоняющей силы возникает вертикальный изгиб z-типа. Данный тип деформации показан на рисунке 1.

Рис. 1. Вертикальный изгиб z-типа.

Выделим из балки двумя поперечными сечениями элемент длиной и рассмотрим его деформацию (рис. 2). Так как этот элемент изогнут, то материал на внешней стороне изгиба растянут, а на внутренней стороне сжат. Но имеется нейтральная поверхность, которая и не сжата и не растянута. Для упрощения вычислений будем считать, что поперечные сечения балки остаются плоскими и нормальными к её деформированной оси (прямой чистый изгиб балки постоянного сечения). Последнее предположение справедливо при выполнении условия [1], которое выполняется в рамках рассматриваемого случая.

Рис. 2а.  Маленький отрезок изогнутой балки.







Рис. 2б.   Поперечное сечение балки.

Для чистого изгиба нейтральная поверхность проходит через центр тяжести поперечного сечения [2], т.е. в нашем случае продольная ось симметрии параллелепипеда принадлежит нейтральной поверхности. Продольное удлинение материала пропорционально расстоянию z от нейтральной поверхности: (рис. 2). Таким образом, по закону Гука сила, действующая на единичную площадь в некоторой маленькой полоске площадью вблизи z равна , где – модуль Юнга, – радиус кривизны балки. Если рассмотреть любое поперечное сечение, то действующие на нём силы направлены в одну сторону выше нейтральной поверхности и в другую – ниже её. Получается пара сил, которая создаёт изгибающий момент , под которым понимают момент сил относительно нейтральной линии:

(4)

Величину называют осевым моментом инерции сечения балки относительно оси, проходящей через его центр масс. Для балки с прямоугольным поперечным сечением

(5)

Обозначим отклонение в z-направлении точки балки на расстоянии y от закреплённого конца через . Кривизна кривой при малых изгибах ( ) задаётся выражением . С учётом (5) изгибающий момент сил можно выразить следующим образом

(6)

С другой стороны, является моментом сил относительно точки y, обусловленным действием силы – и собственным весом балки – . Таким образом, получаем уравнение:

(7)

Интегрируя его с учетом граничных условий и , получаем решение:

(8)

Отклонение конца балки (рис. 1):

(9)

Второе слагаемое – это прогиб под действием собственного веса. Для типичного кантилевера он составляет доли ангстрем и может быть опущен на фоне первого члена, который в АСМ-экспериментах в сотни раз больше. Зависимость (9) есть ни что иное, как соотношение (3), в котором надо положить

(10)

Угол отклонения конца балки, посчитанный уже без учета второго члена в (8):

(11)

Коэффициент обратной жесткости является наибольшим среди остальных компонент тензора В формуле (10) для этого параметра введено специальное обозначение без индексов. Именно величина указывается в качестве жесткости в характеристиках кантилевера, являясь одним из его важнейших параметров. Ниже для наглядности будем выделять в качестве общего множителя всех элементов матрицы (см. формулу (2) пункта 2.1.1). Для кантилевера с прямоугольным поперечным сечением можно переписать (10):

(12)

Из формулы (11) и геометрии вертикального изгиба z-типа (рис. 1) несложно найти отклонение острия зонда возникающее под действием силы .

(13)

Из (13) и (2) очевидно, что

(14)

Учитывая, что , заметим:

(15)

Наконец, запишем компоненты последней колонки матрицы (3) пункта 2.1.1 Из формул (9–11) можно получить

(16)

Так как под действием силы не происходит наклона верхней плоскости кантилевера в направлении , то

(17)


Выводы.

  • Под действием вертикальной отклоняющей силы возникает изгиб z-типа.
  • Для нахождения компонентов тензора обратной жесткости, соответствующих изгибу z-типа необходимо решить задачу статического изгиба балки, которая сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка.
  • Вертикальная сила приводит к отклонению острия в вертикальном и продольном направлениях и появлению угла отклонения
  • В вертикальном направлении кроме силы реакции со стороны образца на кантилевер действует сила собственной тяжести. Она приводит к прогибу свободного конца балки на фиксированную величину, незначительную по сравнению с минимальным регистрируемым отклонением.

Литература.

  1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике, 7 часть. - М.: Изд. МИР, 1966. - 292 с.
  2. Горшков А.Г., Трошин В.Н., Шалашилин В.И. Сопротивление материалов. - М.: Изд. ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 544 c.