2.1.6 Эффективная масса и собственная частота кантилевера

В АСМ помимо методик, основанных на измерении статического изгиба балки, существуют колебательные методики. Для их использования необходимо знать резонансную частоту кантилевера.

Вычислим резонансную частоту изотропного кантилевера массы в виде балки в форме параллелепипеда длиной , толщиной () и шириной () на свободный конец которого действует сосредоточенная вертикальная сила (рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольный кантилевер с зондом.

Найдём кинетическую и потенциальную энергию кантилевера. Рассмотрим элемент балки длиной находящийся на расстоянии от закреплённого конца. Кинетическая энергия такого элемента есть:

(1)

где – отклонение точек осевой линии балки на расстоянии от закреплённого конца в момент времени . В соответствии с формулами (8), (9) пункта 2.1.2 выражается через отклонение свободного конца балки следующим образом:

(2)

Тогда подставляя значение в (1) и производя интегрирование по всей длине балки, получим, что

(3)

Потенциальная энергия вычисляется проще. Так как по условию только на свободный конец действует сосредоточенная сила F , то очевидно, что Enom равна работе, затраченной на перемещение конца балки на расстояние :

(4)

где – коэффициент нормальной жесткости, определяемый формулой (12) пункта 2.1.2.

Если считать, что колебания в системе происходят без диссипации полной энергии то есть , then, differentiating тогда дифференцируя полную энергию по времени, получим уравнение движения свободного конца кантилевера

(5)

Следовательно, эффективная масса кантилевера равна

(6)

Таким образом, вычислив и зная коэффициент жёсткости определяемый формулой (12) пункта 2.1.2 получаем, что собственная частота колебаний кантилевера выражается через его параметры следующим образом

(7)

где – плотность кантилевера, – модуль Юнга. Как видно из (6), обратно пропорциональна квадрату длины балки. Данный факт необходимо учитывать при выборе кантилевера. Резонансная частота собственных колебаний кантилевера должна быть максимально высокой, иначе в нём легко будут возбуждаться собственные колебания за счёт возвратно-поступательных перемещений зонда относительно образца при построчном сканировании поверхности или под действием внешних вибраций.


Выводы.

  • Для использования колебательных методик АСМ необходимо знать частоту собственных колебаний и эффективную массу кантилевера.
  • Эффективная масса .
  • Собственная частота .